第二篇终于基本写完了，目前还差个 Sard Theorem 的证明概要. 花了很久主要是因为自己之前看 hatcher 吸收的并不好所以重看 3.3 又花了很久. 我一直认为最高阶同调群的地位和 Poincare 对偶在差不多的位置，因为从定义来看定向和紧性完全决定了同调群的信息是一件很不可思议的事情，同时也是 Poincare 对偶的基础. 从三角剖分+单纯同调的手段我只找到沿着对偶的资料（这可以顺带给出最高阶同调群的信息），但是从 de Rham 上同调和奇异同调出发给出的证明各有千秋，一个借助积分映射（非常自然啊！）另一个和定向本身结合起来，利用从 \(H_n(M)\) 到 \(R\)-section 的映射.（昨晚看了点 1.6，section 这个名字应该是从 fiber bundle 里来的，中文翻译其实就是我们非常熟悉的截面……感觉有点薛）后续应该会分别利用 cap 和 cup product 得到 Poincare 对偶的命题.
所以奇异同调和 de Rham 上同调里的 \(H_c^n(M)\) 同构吗？